试判定级数n的平方/3的n次方的敛散性。前面的那个符号手机写不出来...

发布网友发布时间：2024-10-24 11:45

共3个回答

热心网友时间：2024-11-07 06:53

用柯西审敛法 lim(n^2/3^n)^(1/n)在n趋向于无穷的极限是1/3是小于1的
所以这个级数收敛

也可以这么考虑：当n充分大时，n^2<3^(n/2)
那么这个级数充分大时第n项小于1/3^(n/2)
而后者是收敛的所以前级数收敛

热心网友时间：2024-11-07 06:49

解：收敛
记Sn＝1/3＋4/3^2＋9/3^3＋……＋n^2/3^，利用错位相减得2/3 Sn＝1/3＋3/3^2＋5/3^3＋……＋(2n－1)/3^n－n^2/3^(n＋1)＝1－(n＋1)/3^n－n^2/3^(n＋1)＝1－(n^2＋3n＋3)/3^(n＋1)＜1，
所以Sn＜3/2恒成立

热心网友时间：2024-11-07 06:56

lim(n→无穷)n²/3^n的1/n次幂
=lim(n→无穷)n^(2/n)/3
=lim(n→无穷)e^[lnn^(2/n)]/3
=lim(n→无穷)e^(2lnn/n)/3
=e^[lim(n→无穷)2lnn/n]/3
用洛比达法则=e^2[lim(x→无穷)1/x]/3
=1/3<1
故该级数收敛