已知数列{an}满足an+1=12-an,a1=0.(1)计算a2,a3,a4,...
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发布时间：2024-10-24 11:47
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时间：13小时前
1
2-an
和a1=0，得a2=
1
2-0
=
1
2
，a3=
1
2-
1
2
=
2
3
，a4=
1
2-
2
3
=
3
4
，a5=
1
2-
3
4
=
4
5
．（4分）
（2）由以上结果猜测：an=
n-1
n
（6分）
用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当n=1时，左边=a1=0，右边=
1-1
1
=0，等式成立．（8分）
（Ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即ak=
k-1
k
成立．
那么，当n=k+1时，ak+1=
1
2-ak
=
1
2-
k-1
k
=
k
k+1
=
(k+1)-1
k+1
这就是说，当n=k+1时等式成立．
由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测an=
n-1
n
对于任意正整数n都成立．（12分）
