定积分x(sinx)³dx 在0到π上

发布网友 发布时间：2024-10-24 11:06

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热心网友 时间：1天前

记A＝∫(0到π) x(sinx)³dx，换元x＝π-t，则A＝∫(0到π) π(sinx)³dt－∫(0到π) t(sinx)³dt

所以A＝π/2×∫(0到π) (sinx)³dx

又因为(sinx)³以π为周期，且是偶函数

所以∫(0到π)(sinx)³dx＝∫(-π/2到π/2) (sinx)³dx＝2∫(0到π/2)

(sinx)^6dx,套用定积分公式，∫(0到π) (sinx)³dx＝2×5/6×3/4×1/2×π/2

所以,原积分A＝π/2×2×5/6×3/4×1/2×π/2＝5π^2/32

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

定理

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

热心网友 时间：1天前

利用一个特殊积分公式、对称性及Wallis公式可以如图得出答案。

热心网友 时间：1天前

记A＝∫(0到π) x(sinx)³dx，换元x＝π-t，则A＝∫(0到π) π(sinx)³dt－∫(0到π) t(sinx)³dt

所以A＝π/2×∫(0到π) (sinx)³dx

又因为(sinx)³以π为周期，且是偶函数

所以∫(0到π)(sinx)³dx＝∫(-π/2到π/2) (sinx)³dx＝2∫(0到π/2)

(sinx)^6dx,套用定积分公式，∫(0到π) (sinx)³dx＝2×5/6×3/4×1/2×π/2

所以,原积分A＝π/2×2×5/6×3/4×1/2×π/2＝5π^2/32

扩展资料：

求积分一般要运用的定理：

1、设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

2、设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

3、设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

4、牛顿-莱布尼茨公式：如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么

用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。

热心网友 时间：1天前

记A＝∫(0到π) x(sinx)³dx，换元x＝π-t，则A＝∫(0到π) π(sinx)³dt－∫(0到π) t(sinx)³dt

所以A＝π/2×∫(0到π) (sinx)³dx

又因为(sinx)³以π为周期，且是偶函数

所以∫(0到π)(sinx)³dx＝∫(-π/2到π/2) (sinx)³dx＝2∫(0到π/2)

(sinx)^6dx,套用定积分公式，∫(0到π) (sinx)³dx＝2×5/6×3/4×1/2×π/2

所以,原积分A＝π/2×2×5/6×3/4×1/2×π/2＝5π^2/32

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

定理

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

热心网友 时间：1天前

记A＝∫(0到π) x(sinx)³dx，换元x＝π-t，则A＝∫(0到π) π(sinx)³dt－∫(0到π) t(sinx)³dt

所以A＝π/2×∫(0到π) (sinx)³dx

又因为(sinx)³以π为周期，且是偶函数

所以∫(0到π)(sinx)³dx＝∫(-π/2到π/2) (sinx)³dx＝2∫(0到π/2)

(sinx)^6dx,套用定积分公式，∫(0到π) (sinx)³dx＝2×5/6×3/4×1/2×π/2

所以,原积分A＝π/2×2×5/6×3/4×1/2×π/2＝5π^2/32

扩展资料：

求积分一般要运用的定理：

1、设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

2、设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

3、设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

4、牛顿-莱布尼茨公式：如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么

用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。

热心网友 时间：1天前

利用一个特殊积分公式、对称性及Wallis公式可以如图得出答案。