已知函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内的任意m,n都有f...
发布网友
发布时间:2024-10-17 07:27
我来回答
共1个回答
热心网友
时间:2024-10-17 18:09
(1)证明:因为对定义域内的任意m,n都有f(m?n)=f(m)+f(n),
所以,令m=n=1,则f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0;
令m=n=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),即0=2f(-1),所以f(-1)=0.
对定义域内的任意m,取n=-1,有f(-m)=f(m)+f(-1),即f(-m)=f(m),
所以f(x)是偶函数.
(2)证明:设0<x1<x2,
则f(x2)-f(x1)=f(x1?x2x1)-f(x1)=f(x1)+f(x2x1)-f(x1)=f(x2x1),
因为当x>1时f(x)>0,且x2x1>1,所以f(x2x1)>0,
即f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1).
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解:由f(2)=2,得4=f(2)+f(2)=f(2?2)=f(4),
由(1),(2)得,f(2x-1)<4?f(|2x-1|)<f(4)?0<|2x-1|<4,
解得-32<x<52,且x≠12.
所以不等式的解集为:{x|-32<x<52,且x≠12}.