双曲函数恒等式

发布网友发布时间：2024-09-24 18:33

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热心网友时间：2024-09-24 20:01

双曲函数中存在一系列重要的恒等式，它们与圆三角函数的关系密切。首先，有

ch^2(x) - sh^2(x) = 1

cth^2(x) - sh^2(x) = 1

以及th^2(x) + sch^2(x) = 1，这些是基本的加法和减法公式，它们展示了双曲函数之间的相互关系。

加法公式如下：

sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)
cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)
tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]
coth(x+y) = [1 + coth(x) * coth(y)] / [coth(x) + coth(y)]

减法公式同样重要：

sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y)
cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y)
tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)]
coth(x-y) = [1 - coth(x) * coth(y)] / [coth(x) - coth(y)]

双曲函数的倍角公式则展示了其在角度倍增时的规律：

sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)
cosh(2x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1
tanh(2x) = 2 * tanh(x) / (1 + tanh^2(x))
coth(2x) = (1 + coth^2(x)) / (2 * coth(x))

此外，还有半角公式，如cosh^2(x / 2）= (cosh(x) + 1）/ 2 和 sinh^2(x / 2）= (cosh(x) - 1）/ 2，它们用于简化计算。

德莫佛公式指出，将圆函数恒等式中的圆函数替换为相应的双曲函数时，需要根据特定规则调整符号，例如两个sinh的乘积（包括coth^2(x), tanh^2(x), csch^2(x), sinh(x) * sinh(y)）的正负号变化，会产生双曲函数的恒等式，如三倍角公式sinh(3x) = 3sinh(x) + 4sinh^3(x)。

通过这些恒等式，我们可以更方便地处理双曲函数的运算和性质分析。

扩展资料

在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推