Hölder 不等式

发布网友发布时间：2024-10-23 01:33

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热心网友时间：2024-10-23 04:22

Hölder不等式是数学分析中的基本不等式，其离散形式表示为：设为正实数，设为正实数，满足条件，则当且仅当等号成立。

注意，当条件成立时，上述不等式转变为Cauchy-Schwarz不等式。

证明Hölder不等式，我们先引入两个引理。

引理1：设为实数，则当且仅当等号成立。

证明：在函数曲线上的割线为，由于曲线为向上凹的，因此有当等号成立。

引理2（Young不等式）：设为正实数，满足条件，则当且仅当等号成立。

证明：利用指数函数性质，由于，应用引理1可得当且仅当等号成立。

下面我们来证明Hölder不等式：令，应用Young不等式可得。两边求和可得，即当且仅当等号成立。Hölder不等式证明完成。

现在给出Hölder不等式的一般形式：设为正实数，设为正实数，且满足条件，则。

例：设为正实数且满足条件，证明。证明：由Hölder不等式，有证毕。