如何证明σ开等于1/ n-2σ(yi- yi开)?

发布网友发布时间：2024-10-23 01:26

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热心网友时间：2024-10-23 02:42

要证明σ开²=1/n-2Σ(yi-yi开)²是σ²的无偏估计，需要满足两个条件：

期望值为σ²，即E(σ开²) = σ²；
无偏性，即估计值的期望值等于被估计参数的真实值，即E(1/n-2Σ(yi-yi开)²) = σ²。
首先证明条件1，即证明E(σ开²) = σ²。

由于：

σ开²=1/n-2Σ(yi-yi开)²

展开后得到：

σ开² = (1/n) * Σ(yi - yi开)² - (1/(n-1)) * Σ(yi - y平均)²

其中，y平均是样本的平均值。我们知道，样本方差的期望值为总体方差的(n-1)/n倍，即E(S²) = σ² * (n-1)/n。因此，可以得到：

E((1/n) * Σ(yi - yi开)²) = (1/n) * Σ E((yi - yi开)²) = (1/n) * Σ σ² = σ²

又因为：

E((1/(n-1)) * Σ(yi - y平均)²) = (1/(n-1)) * Σ E((yi - y平均)²) = (1/(n-1)) * Σ σ² = σ²

因此，E(σ开²) = σ²，即条件1成立。

接下来证明条件2，即证明E(1/n-2Σ(yi-yi开)²) = σ²。1/n-2Σ(yi-yi开)² = ((n-1)/n) * S²

其中，S²是样本的无偏估计方差。

我们知道，样本方差的期望值为总体方差的(n-1)/n倍，即E(S²) = σ²。因此，可以得到：

E(((n-1)/n) * S²) = ((n-1)/n) * E(S²) = ((n-1)/n) * σ² = σ²

因此，E(1/n-2Σ(yi-yi开)²) = σ²，即条件2成立。

因为两个条件都满足，所以可以证明σ开²=1/n-2Σ(yi-yi开)²是σ²的无偏估计。