线性最小二乘问题(Linear Least Squares Question)
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发布时间：2024-10-22 21:28
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时间：2024-11-02 10:22
在解决线性最小二乘问题时，首先需要理解基本知识，如线性最小二乘问题的目标是求解向量x，使得向量b减去矩阵A乘以向量x的值，即b - Ax的二范数最小。接着，我们引入等价形式，这表明如果一个向量是线性最小二乘问题的解，那么它也满足正规方程。正规方程是求解线性最小二乘问题的等价形式。
定理1指出，线性最小二乘问题总是有解的。必要性证明说明，如果一个向量是线性最小二乘问题的解，那么它也满足正规方程。充分性证明则指出，如果一个向量满足正规方程，它就是线性最小二乘问题的解。证明1利用非齐次线性方程组的解的存在性来证明线性最小二乘问题总是有解的。
几何意义部分解释了LLS问题的目标是使得残差向量尽可能小。若向量b在矩阵A生成的列空间中，则表示向量b可以由矩阵A的列向量线性表示；若向量b与A间有夹角，则表示向量b不能完全由矩阵A的列向量线性表示，存在残差。
正交投影矩阵(Orthogonal Projector)的引入是为了更好地计算向量b在A及A上的分量。正交投影矩阵是幂等的，也是对称的。利用Cholesky分解、QR分解、SVD分解等方法可以解决LLS问题。
Cholesky分解适用于求解正规方程，但会损失部分信息，降低精度，一般不采用此方法。为了在LLS问题的解有稳定鲁棒性的前提下，寻找一种更简单的数值解法，通常将矩阵A变化为三角矩阵形式。这可以通过正交变换实现，因为正交变换具有保范数性能。
QR分解是另一种解决LLS问题的方法，它将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R，从而简化问题。Givens变换和Householder变换是实现QR分解的常用方法。Gram-Schmidt正交化也是一种解决LLS问题的方法，但存在正交性缺失的问题，因此不常用。
低秩问题(Rank Deficiency)讨论了当矩阵A的秩不足时，QR分解仍然成立，但生成的上三角矩阵为奇异矩阵，存在多个向量给出残差的最小值。通常选择范数最小的解作为最终解，或通过奇异值分解进行求解。
奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)是解决低秩问题的有力工具。SVD将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中两个是正交矩阵，另一个是对角矩阵。这将矩阵分解为多个秩为1的矩阵之和，适用于信息科学中的应用。通过SVD分解，我们可以简化矩阵，求解线性最小二乘问题。
线性最小二乘问题的伪逆(Pseudoinverse)提供了一种解决方案。对于一般矩阵A，其伪逆可以简化求解过程。利用SVD分解矩阵A，我们可以通过简单的计算得到线性最小二乘问题的解。
总结，本文概述了线性最小二乘问题的定义及其解法。通过正规方程求解、QR分解、SVD分解等方法，我们可以解决线性最小二乘问题。Cholesky分解虽然可以简化计算，但在精度上有所牺牲，一般不采用。当矩阵A列满秩时，QR分解是有效的方法；当矩阵A的秩不足时，SVD分解则成为解决线性最小二乘问题的有力工具。
