Black-Scholes-Merton期权定价模型和Feynman Kac公式
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发布时间:2024-10-21 15:35
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时间:2024-10-21 16:34
布莱克-休斯-墨顿模型(Black-Scholes Merton, BSM)是一种用于定价期权的数学模型。由迈伦·舒尔斯、费雪·布莱克与罗伯特·墨顿提出,主要用于不派发股利的欧式期权。BSM模型是一个微分方程,曾获诺贝尔经济学奖。标准BSM模型仅适用于欧式期权,未考虑美式期权的早行权特性。
定义鞅的概念。鞅是一个随机过程,对任意时间点,其期望值等于当前值。在金融数学中,常使用吉尔萨诺夫定理将股票价格的物理测度转换为风险中性测度。几何布朗运动常用来模拟股票价格,其具有指数鞅特性。
费曼-卡茨公式将随机过程与抛物型偏微分方程相结合,允许通过模拟随机过程的路径来求解微分方程的数值解,反过来通过确定性计算获得随机过程的期望值。
当股票价格满足BSM模型时,其可写作几何布朗运动的形式。BSM的假设包括股票的期望收益与波动率。通常,通过历史数据来估计股票波动率。
BSM模型可通过动态复制、无风险对冲原则或风险中性估值方法求解。动态复制方法涉及构建资产组合以复制期权价值。无风险对冲原则要求资产组合价值在任何时间点均与期权价值相等。风险中性估值则假设市场以风险中性方式定价。
最终,BSM公式给出欧式看涨期权的价格。考虑资产首次击中下界时支付1美元的衍生品,根据BSM模型可以求解其价格。衍生品价格与资产价格和行权时间相关,通过代入BSM等式可求解。