【泛函分析讲义-张恭庆】2.1 线性算子的概念(课本内容讲解)

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泛函分析作为数学领域中的重要分支，主要研究函数空间的结构和算子在这些空间上的性质。在泛函分析中，我们通过类比、联想、归纳等方法，将有限维空间的代数结构和几何特征推广到更广泛的无穷维空间，构建出如距离空间、线性赋范空间、Banach空间、内积空间、Hilbert空间等概念。

在构建了这些空间后，自然地，我们对空间上的算子展开研究，即我们熟悉的各种运算或函数。其中，线性算子是泛函分析中的核心概念，它包括但不限于中学解析几何中的平移和旋转、高等数学中的微分和不定积分以及空间中的线性变换。线性算子的定义简洁且本质，它源于线性代数中的线性变换，满足线性性质。

定义2.1.1中的线性算子，设V和W是两个线性空间，V的子空间称为定义域，W称为值域。若对所有属于定义域的元素，线性算子都保持线性关系，即线性算子的定义完成。

进一步，定义2.1.5提到实（复）线性泛函，即取值于实数（复数）域的特殊线性算子，其值域不再是线性空间，而是数域。

对于线性算子的连续性和有界性，它们是泛函分析中重要研究方向，与之前学习函数/映射时的性质类似。连续性意味着映射在任何一点的微小变化下，其输出的改变也是微小的；有界性则意味着存在常数限制算子对输入的放大倍数，这个常数反映了算子的“最大放大能力”。通过定义2.1.8和2.1.10，我们可以明确线性算子连续和有界的概念。

连续和有界之间存在等价关系，即线性算子连续等价于有界，这一命题（2.1.11）揭示了二者之间的紧密联系。

将所有有界线性算子集合成空间，构成线性赋范空间，这种空间的结构和性质成为了泛函分析研究的核心。定义2.1.12中，我们定义了有界线性算子空间的范数，并以此空间作为泛函分析的基础。

定理2.1.13揭示了空间的完备性，指出从一个完备空间到另一个完备空间的有界线性算子构成的集合在特定范数下构成Banach空间，这是泛函分析中的重要定理。

最后，例2.1.14和定理表明，线性映射在有穷维空间中的连续性是必然的，且有界性在有穷维线性赋范空间到任意线性赋范空间的线性算子中得到保证。这些内容总结了线性算子在泛函分析中的核心地位和性质。