调和分析(二)

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本文深入探讨了《调和分析》中与函数空间相关的结论，特别是涉及开集函数和子集函数的性质。该部分是学习现代偏微分方程理论的基础。

首先，我们关注连续可微函数空间及其t向异性空间。这些空间定义了具有“直到某一阶连续偏导数”的函数，并且范数由这些偏导数的最大值确定。具体而言，[公式]阶连续可微函数空间包括所有直到该阶有连续偏导数的函数，且其范数基于直到该阶的偏导数的最大值。若空间*为有界开集，则该空间成为Banach空间。此外，当考虑侧边界附近可微的函数时，可定义更具体的t向异性空间。

Arzelà–Ascoli定理确保了在有界开集中的函数集合在满足特定条件时是列紧集。函数的光滑化过程允许我们通过选取一定半径对函数进行局部光滑处理，特别是当函数在特定区域内需要具有某种光滑性时。

接下来，我们探讨Hölder空间及其t向异性空间。这些空间通过*函数的导数具有特定的Hölder半模来定义，从而形成Banach空间。插值不等式提供了一种比较不同Hölder空间中函数的条件，而包含关系则描述了不同阶次Hölder空间之间的关系。

Sobolev空间作为Hölder空间的替代，通过考虑直到某一阶可积的弱导数来定义函数空间。这些空间是Banach空间，其范数基于直到该阶的弱导数的范数。Sobolev空间的定义包括弱导数的存在性、唯一性及求导次序的无关性。加法公式、Leibniz乘积公式和卷积公式提供了弱导数的运算规则，而函数的连续性与弱导数的关系也得到了讨论。此外，Sobolev空间还考虑了向异性情况下的定义。

稠密性是函数空间中的重要属性，它确保了函数空间中的函数可以局部和整体上*近某些函数集合。通过利用函数的光滑化和单位分解定理，可以证明局部和整体的稠密性。

延拓定理允许我们扩展函数到更大的集合上，特别是当考虑边界条件时。迹算子用于描述函数在边界的行为，证明过程中需用到截断函数引理。Poincaré不等式、插值不等式、Sobolev不等式与Morrey不等式则刻画了函数及其导数之间的控制关系。

嵌入定理描述了不同Sobolev空间之间的包含关系，通过Sobolev不等式和Morrey不等式得到了这些关系的严格证明。

差商提供了验证弱导数存在的另一种方法，其性质描述了函数在不同点处的局部行为。共轭空间的概念则扩展了Hilbert空间的共轭空间定义，适用于更广泛的函数空间。

最后，我们引入了抽象函数空间的概念，将函数的取值空间扩展到实Banach空间，从而覆盖更广泛的数学理论。这包括抽象L^p空间、抽象连续函数空间和抽象Sobolev空间，它们在不同上下文中提供了更一般化的函数空间定义。