【泛函分析学习笔记9】范数与线性赋范空间

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范数在测量向量大小中起着关键作用，它是衡量线性空间中元素重要性的工具。在三维欧几里得空间中，通过矢量的长度来理解其大小，实际上，这个概念可以推广到更抽象的矢量空间和向量的长度概念。

一个线性空间[公式]如果对任意元素[公式]定义了一个实数[公式]，满足特定性质，那么[公式]被称为该元素的范数。例如，三维空间中的点通过向量表示，其大小即为向量的长度，这是范数的直观体现。

线性赋范空间是特定类型的线性空间，它装备了范数[公式]，使得空间具有距离的概念。范数的定义可以从距离出发，通过函数到零元素的距离来衡量函数空间中函数的大小，如[公式]空间和[公式]空间中的范数定义。

在乘积空间中，如[公式]与[公式]的乘积，范数通过组合两个空间元素的范数来确定，如[公式]的范数定义。范数的性质涉及收敛性，利用三角不等式可以证明不同元素范数的差趋于0，这就保证了有界性，比如三维空间中集合[公式]是有界的，而[公式]平面则无界。

范数的等价性定义了不同范数间的相似性，如果存在常数[公式]和[公式]，使得[公式]和[公式]的范数之间有固定的比例关系，就称它们是等价的。