数值计算知识点总结(3)

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数值计算领域中，求积公式是解决积分问题的重要工具。本文将对几种常见的求积公式进行总结。

梯形公式是最基础的求积方法，其公式为:

中矩形公式在梯形公式的计算基础上，进一步优化得到，其公式为:

辛普森公式则拥有更高的精度，能更好地*近实际积分结果。其公式为:

求积公式按代数精度可划分为不同级别，梯形公式和中矩形公式具有一次代数精度，而辛普森公式具有三次代数精度。

插值型求积公式结合基函数的特性，具有更佳的精度。当求积公式具有高于一次的代数精度时，它即为插值型求积公式。

Newton-Cotes求积公式在均匀结点分布的条件下，通过插值型求积公式实现，其代数精度随阶数提升。

复化求积公式通过将大区间分解为多个小区间，并在每个区间上应用相应求积公式，达到更高精度的积分估计。复化梯形公式和复化辛普森公式是其中的典型代表。

梯形公式的余项展开式揭示了其误差来源，通过分析复化梯形求积公式，可进一步优化求解过程。复化辛普森公式同样具备清晰的误差估计。

在更高精度的求积方法中，Gauss型求积公式展现出强大优势。通过带权积分，Gauss型求积公式能够实现更高次的代数精度。积分节点的选择满足与多项式的正交性条件，确保了其高精度特性。具体而言，Gauss点是正交多项式零点，而Gauss型求积公式的误差则由多项式与权函数的正交性决定。