如图,抛物线y=ax平方+bx+c关于直线x=1对称,与坐标轴交于点A,B,C三...
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发布时间：2024-06-01 16:42
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时间：2024-06-18 16:15
因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A（-1，0），B（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵点D（2，3 /2）在抛物线上，
∴3/2/=a×3×（-1），解得a=−1/2，∴抛物线解析式为：y=−1/2/（x+1）（x-3）=−1/2x2+x+3/2．
（2）抛物线解析式为：y=−1/2/x2+x+32，令x=0，得y=3/2，
∴C（0，3/2），∵D（2，3/2），∴CD∥OB，直线CD解析式为y=3/
2．直线l解析式为y=kx-2，令y=0，得x=2/k/；令y=3/2/，得x=7/2k/
设直线l分别与OB、CD交于点E、F，则E（2/k/，0），F（7/2k，3/2），
OE=2/k，BE=3-2/k，CF=7/2k，DF=2-7/2k．
∵直线l平分四边形OBDC的面积，
∴S梯形OEFC=S梯形FDBE，
∴1/2/（OE+CF）•OC=1/2/（FD+BE）•OC，
∴OE+CF=FD+BE，即：2/k/+7/2k=（3-2/k/）+（2-7/2k/），
解方程得：k=11/5/，经检验k=11/5
是原方程的解且符合题意，∴k=11/5．
（3）假设存在符合题意的点P，其坐标为（0，t）．
抛物线解析式为：y=−1/2x2+x+3/2=−1/2/（x-1）2+2，
把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为：y=−1/2/x2．
依题意画出图形，如答图2所示，过点M作MD⊥y轴于点D，NE⊥y轴于点E，
设M（xm，ym），N（xn，yn），则MD=-xm，PD=t-ym；NE=xn，PE=t-yn．
∵直线PM与PN关于y轴对称，∴∠MPD=∠NPE，
又∠MDP=∠NEP=90°，
∴Rt△PMD∽Rt△PNE，
∴MD/NE/＝PD/PE/，即−xm/xn/＝t−ym/t−yn/
①，∵点M、N在直线y=kx-2上，∴ym=kxm-2，yn=kxn-2，
代入①式化简得：（t+2）（xm+xn）=2kxmxn ②
把y=kx-2代入y=−1/2/x2．，整理得：x2+2kx-4=0，
∴xm+xn=-2k，xmxn=-4，代入②式解得：t=2，符合条件．
所以在y轴正半轴上存在一个定点P（0，2），使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称
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时间：2024-06-18 16:07
