在△ABC中,∠C>∠B,求证:角平分线BTb>角平分线CTc

发布网友发布时间：2024-05-15 11:06

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热心网友时间：2024-05-26 23:10

用三角形中大角对大边证
∠B的平分线交AC于D,∠C的平分线交AB于E,交点为O.
在BO上选一点F，使OF=OE,在OC上选一点H ,使OH=OD.
连接FH,FD=HE
过H作BC的平行线交BD与M
BM＞CH(∠OBC＜∠OCB,OB＞OC,再根据比例性质)
所以BD＞CE
说明：如果1/2∠C＞∠A+1/2∠B,则OD＞OC,
再证BO＞EO)

热心网友时间：2024-05-26 23:10

证明：如图：https://gss0.baidu.com/7LsWdDW5_xN3otqbppnN2DJv/speedgx/pic/item/4ac17139b2a465d6b311c7cf.jpeg
设∠B的角平分线为BD，∠C的角平分线为CE。只要证明BD>CE即可。过B、C分别作CE和BD的平行线，分别交AC、AB的延长线于点N、M。 ∴∠M=∠ABD=∠CBD=∠BCM=∠ABC/2 ∠N=∠ACE=∠BCE=∠CBN=∠ACB/2 ∴BC=BM=CN 很明显有： CM=2BM*cos∠M=2BC*cos(∠ABC/2) BN=2CN*cos∠N=2BC*cos(∠ACB/2) ∵∠ABC∴cos(∠ABC/2)>cos(∠ACB/2) ∴CM>BN……① 又∵BD‖MC，CE‖BN ∴BD/CM=AB/AM=c/(c+a)=1/(1+a/c) CE/BN=AC/AN=b/(b+a)=1/(1+a/b) ∵∠ACB>∠ABC ∴c>b【大角对大边】 ∴1/c1/(1+a/b) ∴BD/CM>CE/BN……② ∵①②两个不等式两边都是正数并且不等号方向相同 ∴①②相乘得： CM*(BD/CM)>BN*(CE/BN) 即：BD>CE 至此，结论得证！

热心网友时间：2024-05-26 23:11

，∠B+[1/2]∠B+[1/2]∠C＜180,180-∠B-[1/2]∠C＞[1/2]B,这样在三角形obTc中有大边对大角，有ob＞0Tc,于是在ob上截取oy=oTc,根据同样的道理有oc＞oTb,于是在oc上截取ox=oTb,对于∠c与∠a的关系，分一个类，有①∠c≤∠a,2∠c+∠b≤∠a+∠b+∠c=180,∠c+[1/2]b≤90,∠b+[1/2]c＜∠c+[1/2]b≤90,这样后者的正弦值大，内切圆的半径设r,oTc*sin{∠b+[1/2]∠c},oTb*sin{∠c+[1/2]∠b}=r,oTb＜oTc,⊿Tbox∽⊿Tcoy,Tbx＞Tcy,熟知两边相等时，另一边大的三角形，该边对应的角也大，∠oyx＞∠oxy,那么过x做bc的平行线xm,0.5∠c＞0.5∠b,所以m必落在yb之间，ox/om=oc/ob=cx/bm,bm＞cx,yTb=xTc,bTb=bm+ym+Tby＞cx+xTc,②∠c＞∠a,∠c+[1/2]∠b是一个钝角，但是∠c+[1/2]∠b＜180-{∠b+[1/2]∠c}这是有∠b+∠c＜120,可以推出的，这样有正弦函数的图像∠c+[1/2]b的正弦值大于∠b+[1/2]∠c的正弦值，下面的结果和上面就一样了②∠b+∠c＜180,这样就有[3/2]∠b+[1/2]c,[3/2]∠c+[1/2]b,不会都大于等于180，∠c＞∠b,两者都小于180的情况上面考虑过了，这是截取的条件，当[3/2]∠b+[1/2]∠c＜180，[3/2]∠c+[1/2]∠b＞180,有一个是不能截取的，比如用小写的字母表示顶点，a在上，b,c在下，b左，c右,ce,bd都是角平分线，令C=108度，B=38度，A=34度，容易验证，OD>OC,那么在本题中有oTb＞oc,{[有，[3/2]∠c+[1/2]∠b＞180，[1/2]∠c＞180-[1/2]∠b-∠c得到]},又∠a+[1/2]∠c＞[1/2]∠b,ob＞oTc,bTb＞cTc,这样各种的可能都包括了。下面的方法是拿别人的，有疑问可以在线交流，延长BTb与CTc交BC过A的平行线于D，E。可以证明
BTb BD*(AC+BC) BI*AC
--- =---------- >－－－
CTc EC*(AB+BC) CI*AB

即只需证明BI/CI >AB/AC =BTa/CTa
这可通过比较角BITa与CITa得到。有人也提到了，反证的方法，正在想