已知向量组A, B线性无关,是否可推出AB也线性无关呢?

发布网友发布时间：2024-05-15 10:41

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热心网友时间：2024-05-31 20:11

首先，A和B都是非零矩阵，要不然这个题没有意义了。
(1)
先证A的列向量组线性相关：
我们把A用列向量组写成：A=[A_1,A_2,..., A_n], 这里每一个A_i表示的是A的第i列，现在A可以看成一个元素为A_i的行向量。
B还是写成(b_ij)， b_ij表示B的(i,j)位置
然后用分块矩阵乘法算AB=[ A_1b_11+A_2b_21+...+A_nb_n1, A_1b_12+A_2b_22+...+A_nB_n2, ..., A_1b_1n+A_2b_2n+...+A_nb_nn]=0
因为B是非零的，所以B有一列是不全为零的，不妨设位第一列，所以从上面的式子里得到：
A_1b_11+A_2b_21+...+A_nb_n1=0, 而且b_11,b_21,..., b_n1不全为0，这就说明A_1,A_2,...,A_n是线性相关的
(2)
你可以类似地证明B的行向量组是现行相关的
只需要把B用行向量写出来：B=[B_1// B_2// ...// B_n] 这里B_i是B的第i行，//表示换行，所以现在B是一个元素为B_i的列向量，然后再做AB=0
剩下的推理跟（1）里是一样的